Une entreprise d'autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, des troupeaux sur la route, etc. Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que l'autocar va parcourir jusqu'à ce qu'il survienne un incident. On admet que la variable D suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=\frac1{82}$ , appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissement.

1. Calculer la probabilité pour que la distance parcourue sans incident soit comprise entre 50 et 100 km.
2. Calculer la probabilité pour que la distance parcourue sans incident soit supérieure à 300 km.
3. Déterminer la distance moyenne parcourue sans incident.

On suppose que la durée de vie d'un téléphone suit une loi exponentielle. En moyenne, ces téléphones ont une durée de vie de 5 ans.

Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près des probabilités suivantes :

1. Quel est la valeur de $\lambda$?
2. Calculer la probabilité qu'un téléphone dépasse 5 ans de durée de vie?

$X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Déterminer la valeur de $\lambda$ à $10^{-3}$ près pour que $P(X\leq 2)=0,5$.

Dans une usine, le temps nécessaire pour réparer une machine est modélisé par une distribution exponentielle avec un taux de réparation de λ=0.01 par minute.

1. Quelle est la probabilité qu'une machine soit réparée en moins de 50 minutes ?
2. Quelle est la probabilité qu'une machine mette entre 30 et 60 minutes pour être réparée ?
3. Quelle est la durée moyenne nécessaire pour réparer une machine ?
4. • La variance est le nombre $$V(X)=\int_0^{+\infty} (x-E(X))^2f(x) dx$$ où $f$ désigne la densité de la loi exponentielle et $E(X)$ l'espérance.
   • L'écart-type est le nombre $\sqrt{V(X)}$
   Quelle est l'écart-type du temps de réparation des machines ?

Dans un centre de données, la durée de fonctionnement d'un serveur informatique avant de tomber en panne suit une distribution exponentielle avec un taux de défaillance de λ=0.0002 par heure.

1. Quelle est la probabilité qu'un serveur fonctionne pendant au moins 5000 heures sans tomber en panne ?
2. Quel est le temps moyen avant qu'un serveur tombe en panne ?
3. La société souhaite garantir une disponibilité de 95% de ses serveurs. Quelle devrait être la durée de garantie offerte sur ses serveurs ?
4. Quel est l'écart-type de cette loi exponetielle?
5. Si le centre de données compte 100 serveurs, quelle est la probabilité qu'au moins 90% d'entre eux fonctionnent encore après 10000 heures ?

Dans une installation industrielle, les systèmes de sécurité sont conçus pour réagir aux incidents détectés dans un temps moyen de 1010 secondes, suivant une distribution exponentielle.

1. Quelle est la probabilité qu'un système de sécurité réagisse en moins de 855 secondes ?
2. Quelle est la probabilité qu'un système de sécurité réagisse entre 855 et 1515 secondes ?
3. Quel est l'écart-type de cette loi exponetielle?
4. Si l'installation compte 2020 systèmes de sécurité, quelle est la probabilité qu'au moins 1818 d'entre eux réagissent dans les 1010 secondes suivant la détection d'un incident ?